探究OpenGL中法向变换

　　学习LearnOpenGL教程的过程中，光照模型章节讲到对于法向的变换与顶点的变换不同，有一个专门的法向矩阵来计算，本文参考The Normal Matrix和个人理解将法相矩阵的计算过程整理如下。

法向和顶点变换的区别

　　法向和顶点的不同在于，顶点使用三维坐标的形式来表示一个位置，而法向则是用三维坐标表示一个方向。如果对顶点进行了不等比的变换，这种变换如果作用在法向上，就会导致法向不会再垂直与对应的表面了，自然光照的计算就变得不准确了。下图，说明了这种现象：

正确计算法向的变换

　　法向有一个特性，不论在变换前还是变换后都应该保证：法向垂直于对应的面。根据此特性，我们可以对法向的变换矩阵进行推导。

　　如上图所示，一个三角面其法向为N，那么对其面上的任意两个顶点P1和P2都有法向垂直与向量P1P2，即：

　　如果使用矩阵表示上述垂直关系，记N表示法向量，T表示向量P1P2，则可以表示为（这里向量统一为列向量，因此N需要转置）：

　　这里使用了一个非常讨巧的办法，引入了一个单位矩阵。假设我们对顶点进行的变换其矩阵为M，那么我们有以下的恒等变换：

　　其中，我们可以将这个恒等变换分为两部分：
　　（1）顶点变换

　　不难发现，右侧的部分相当于对点P1和P2进行了M变换以后，新顶点构成的三角面中的一个向量。
　　（2）法向变换

　　对左侧部分进行变形就可以发现，其实左侧部分刚好就是对法向的变换。另外，这样的恒等变换保持了变换前后法向依然垂直于三角面（变换后的法向与三角面中任意两点组成的向量点积为0）。
　　由此，我们可以得到以下结论：如果对顶点进行变换M，则对法向的变换矩阵为M逆矩阵的转置。